Организационная информация
Тема урока: "Сочетания и размещения".
Предмет: алгебра и начала анализа.
Класс: 11.
Автор урока: Гомонова Галина Васильевна, учитель математики.
Образовательное учреждение: ГБОУ СОШ п. Масленниково Хворостянского района Самарской области.
Методическая информация
Методологическая база:
1) программа: Математика. 5 – 6 классы. Алгебра. 7 – 9 классы. Алгебра и начала анализа.
10 – 11 классы. Авторы – составители И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. Москва: Мнемозина, 2009 год.
2) УМК:
· А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник;
· А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник;
· И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь/Под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Москва. Издательство МЦНМО, 2012;
Цель урока: рассмотреть основные понятия теории комбинаторики.
Задачи урока:
-образовательные: научить воспроизводить общие правила комбинаторики и типы соединений, уметь применять теоретические знания при решении задач;
-воспитательные: воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда;
-развивающие: развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Используемые технологии: развивающее обучение, групповая технология, ИКТ, элементы исследовательской деятельности, элементы блочного изучения тем.
Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, презентация по теме «Что такое комбинаторика? Истоки комбинаторики», презентация по теме "Комбинаторика в реальной жизни", презентация по теме "Решение комбинаторных задач", экран.
План урока:
1) Организационный момент.
2) Повторение и закрепление пройденного материала.
3) Изучение нового материала.
3.1. Сообщение 1 группы.
3.2. Сообщение 2 группы.
3.3. Сообщение 3 группы.
3.4. Решение задач по теме «Сочетания и размещения».
4) Итоги урока.
5) Домашнее задание.
Ход урока
1. Организационный момент
Приветствие учеников, сообщение темы и цели урока
2. Повторение и закрепление пройденного материала
· Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
· Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант 1
1. Достоверное событие и его вероятность.
2. а) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
б) В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.
в) В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Вариант 2
1. Невозможное событие и его вероятность.
2. а) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.
б) В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.
в) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Ответ: вариант 1. 2. а) 0,17; б) 0,475; в) 0,992.
вариант 2. 2. а) 0,11; б) 0,25; в) 0,97.
3. Изучение нового материала
Класс разделен на группы, которые занимались сбором информации, оформлением и представлением на уроке результатов своего труда (выступление учащихся с итогами своей работы).
1 группа (найти информацию о том, какие факторы (причины) способствовали появлению науки комбинаторики, какие ученые стояли у самых истоков возникновения).
2 группа (найти информацию о том, существует ли комбинаторика в реальной жизни, если да, то в каких отраслях применяется).
3 группа (найти информацию о том, какие задачи называются комбинаторными и как можно их решить, рассмотреть каждый метод решения и сделать подборку нескольких задач, решаемых конкретным методом).
3.1. 1 группа.
Представителям самых различных специальностей приходиться решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.
При рассмотрении простейших вероятностных задач нам приходилось подсчитывать число различных исходов (комбинаций). Для небольшого числа элементов такие вычисления сделать несложно. В противном случае такая задача представляет значительную сложность. ( слайд 1)
Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.
Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения». Перестановки - соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их Размещения - соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их Сочетания - соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом (в современном толковом словаре изд. «Большая Советская Энциклопедия»).
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы. (слайд 2)
· Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд "Рассуждения о комбинаторном искусстве". (слайд 3)
· Первоначально комбинаторика возникла в XVI в в связи с распространением различных азартных игр. (слайд 4)
…
3.1. 2 группа. (слайд 1)
Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.
П. Лаплас
Области применения комбинаторики:
• учебные заведения (составление расписаний) (слайд 2)
• сфера общественного питания (составление меню)
• лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
• география (раскраска карт) (слайд 3)
…
…
3.1. 3 группа
Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. (слайд 1)
Правило сложения: если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор « либо А, либо В» можно осуществить m + n способами.
(слайд 2)
Например:
· На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?
По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу сложения, можно осуществить 5+4=9 способами.
· Давайте рассмотрим такую задачу: сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза? (слайд 3)
· Решение: для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем записывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4, и, наконец, с цифры 7:
14, 17, 41, 47, 71, 74.
Ответ: 6.
Этот метод называется перебором вариантов. Таким образом, их трех данных цифр можно составить всего 6 различных двузначных чисел.
Эту задачу можно решить и другим способом. Его название – дерево возможных вариантов. Для этой задачи построена специальная схема. (слайд 4) (слайд 5)
Ставим звездочку. Она будет обозначать количество возможных вариантов.
Далее отводим от звездочки 3 отрезка. В условии задачи даны 3 цифры – 1, 4, 7.
Ставим эти цифры на концах отрезков. Они будут обозначать число десятков в данном числе.
Далее от каждой цифры проводим по 2 отрезка.
На концах этих отрезков записываем также цифры 1, 4, 7. Они будут обозначать число единиц.
Рассмотрим, какие числа получились: 14, 17, 41, 47, 71, 74. То есть всего получилось 6 чисел.
Ответ: 6.
Эта схема действительно похожа на дерево, правда "вверх ногами" и без ствола.
Правило умножения: если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить m ∙ n способами. (слайд 6)
· Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
Эту задачу можно решить по-другому и намного быстрее, не строя дерева возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру двузначного числа можно выбрать тремя способами. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 3∙2, т.е. 6.
· Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 9, 0, 6?
По правилу умножения получаем: 4∙4∙4∙4=256 чисел.
(слайд 7)
Перестановки – соединения, каждое из которых содержит n различных элементов, взятых в определенном порядке. (слайд 8)
Pn=n! = 1 · 2 · 3 · … · (n-2) · (n-1) · n
Задача. (слайд 9)
Сколькими способами можно расставить на полке семь различных книг?
Решение:
Число таких способов равно числу перестановок из семи элементов,
т.е. P7 = 7! = 1 · 2 · 3 · … · 7 = 5040.
Ответ: 5040.
Задача. (слайд 10)
Имеются 10 различных книг, три из которых – справочники. Сколькими способами
Можно расставить эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?
Решение:
Т.к. в справочники должны стоять рядом, то будем рассматривать их как одну книгу. Тогда на полке надо расставить 10 – 3+1=8 книг. Это можно сделать P8 способами. Для каждой из полученных комбинаций можно сделать P3 перестановок справочников.
Поэтому число способов расположения книг на полке равно произведению:
P8 · P3 = 8! · 3! = 40320 · 6 =241920.
Ответ: 241920.
…
…
|
