- В меньшей банке два литра не поместятся, только в большей, — сам себе сказал Юра. — Ага, всё ясно. Первое действие: из реки наполняю молоком литровую банку. Второе — переливаю один литр в трёхлитровую банку. Третье — снова набираю молока в литровую. И четвёртое — опять переливаю его из меньшей банки в большую. За четыре переливания в трёхлитровой банке окажется два литра молока! Ой, ведь можно быстрее — из реки наполнить доверху большую банку, и из неё налить молоко в меньшую. Также доверху. Тогда всего за две операции наливания-переливания в большей банке будет ровно два литра молока, ведь 3 — 1 = 2.

Когда мальчик всё это проделал, молоко в трёхлитровой банке заискрилось в солнечных лучах. От радости Юра захлопал в ладоши, а затем взглянул на столб: что там новенького?

На табличке появились условия остальных задач:

«Теперь реши остальные восемь задач. Запомни: они будут считаться решёнными правильно, если ты используешь как можно меньшее количество переливаний!

Задача 3. Опять ты располагаешь литровой и трёхлитровой банками. Как налить во вторую из них ровно один молока?

Задача 4. Сейчас трёхлитровая банка превратится в четырёхлитровую. Располагая литровой и четырёхлитровой банками, сделай так, чтобы в большей из них оказался ровно один литр молока.

Задача 5. Перед тобой те же банки вместимостью 1 литр и 4 литра. Как налить во вторую из них два литра? Реши задачу двумя способами.

Задача 6. С помощью тех же банок налей в одну из них ровно 3 литра.

Задача 7. Четырёхлитровая банка превращается в пятилитровую. Имея под рукой литровую и пятилитровую банки, добейся того, чтобы в одной из них находилось два литра молока.

Задача 8. С помощью тех же банок налей в одну из них 3 литра молока.

Задача 9. Пятилитровая банка превращается в шестилитровую. Располагая банками вместимостью 1 литр и 6 литров, помести в большую из них четыре литра молока.

Задача 10. С помощью тех же банок налей в одну из них 3 литра молока. Сообрази, сколькими способами можно решить данную задачу».

Задание: решите все данные задачи

Нелегко пришлось Юре. Восемь задач правильно решить — не одну!

Долго провозился с банками мальчик, но, в конце концов, решил все головоломки. Многие из них имели больше одного решения, и чтобы найти кратчайшее из них, требовалось безошибочно считать количество переливаний. Если первые задачи Юра решал больше с помощью практических действий — сначала делал, а потом думал, то последние головоломки пришлось разгадывать в уме, так как банки с молоком становились всё тяжелее, и лишний раз поднимать их не хотелось.

ВОТ КАК РЕШАЮТСЯ ДАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ (МОЛОЧНЫЕ ПЕРЕЛИВАНИЯ):

Задача 3. Наполняем литровую банку молоком из реки и переливаем молоко в трёхлитровую (2 операции).

Задача 4. Заполняем меньшую банку молоком из реки и переливаем молоко в банку большего объёма (2 операции).

Задача 5. Первый способ. Набираем молока в большую банку, отливаем один литр в меньшую и выливаем молоко из литровой банки в реку. Снова заполняем меньшую банку молоком из большей (4 операции). Второй способ. Набираем из реки молока в меньшую банку и переливаем в большую, затем те же действия повторяем (также 4 операции).

Задача 6. Выливаем «лишнее» молоко из заполненной банки большего объёма в меньшую (2 операции).

Задача 7. Набираем молока в меньшую банку и переливаем в большую. Затем те же действия повторяем (4 операции).

Задача 8. Заполняем молоком большую банку, отливаем литр в меньшую и выливаем молоко из литровой банки в реку. Снова заполняем меньшую банку молоком из большей (4 операции).

Задача 9. Набираем молока в шестилитровую банку, отливаем один литр в меньшую и выливаем молоко из литровой банки в реку. Снова заполняем меньшую банку молоком из больше. (4 операции).

Задача 10. Первый способ. Три раза повторяем такие действия — набираем молока из реки в меньшую банку и переливаем в большую. Второй способ. Набираем молока в большую банку, затем трижды повторяем следующую операцию — отливаем один литр в меньшую и выливаем молоко из литровой банки в реку (в последний раз выливать молоко нет необходимости). В обоих случаях потребуется 6 переливаний.

Как только Юра осилил последнюю задачу, то увидел перекинутый через реку мостик, сотканный из солнечных лучей. Мальчик с опаской ступил на него, но, почувствовав под ногами твёрдую поверхность, быстро побежал на противоположный берег. Ему почему-то казалось, что там, на другой стороне, стоит его дом, а на пороге ждёт мама. Но чудеса случаются не всегда. Дальше текла другая река, компотная. Это Юра узнал из надписи на новой табличке:

«КОМПОТНАЯ РЕКА. Если хочешь перебраться на другую сторону, то реши двадцать пять задач. Они будут считаться решёнными правильно, если ты используешь как можно меньшее количество переливаний. Внимательно изучи условие заданий, иногда в них указано, в какой именно сосуд (больший или меньший) нужно налить компот.

Задача 1. Взгляни на берег — там ты увидишь два кувшина. В один из них, наполненный до краёв, помещается ровно два литра компота, а в другой —  три. Как налить в двухлитровый кувшин точно один литр? Укажи два способа.

Задача 2. Налей в те же кувшины четыре литра компота.

Задача 3. Сейчас трёхлитровый кувшин превратится в пятилитровый. Располагая двухлитровым и пятилитровым кувшинами, сделай так, чтобы в одном из них оказался ровно литр компота.

Задача 4. Опять ты располагаешь теми же кувшинами. Как налить в один из них три литра компота?

Задача 5. Перед тобой те же кувшины вместимостью 2 литра и 5 литров. Как налить в один из них 4 литра?

Задача 6. Налей в те же кувшины шесть литров компота.

Задача 7. Пятилитровый кувшин превращается в шестилитровый. Располагая кувшинами вместимостью 2 литра и 6 литров, налей в один из них четыре литра компота.

Задача 8. Шестилитровый кувшин превращается в семилитровый. Имея под рукой двухлитровый и семилитровый кувшины, добейся того, чтобы в одном из них находился один литр компота.

Задача 9. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 3 литра компота.

Задача 10. Располагая кувшин вместимостью 2 литра и 7 литров, помести в один из них четыре литра компота.

Задача 11. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 5 литров компота.

Задача 12. Опять ты располагаешь теми же кувшинами. Как налить в один из них шесть литров компота?

Задача 13. Налей в кувшины ёмкостью 2 литра и 7 литров восемь литров компота.

Задача 14. Семилитровый кувшин превращается в восьмилитровый. Имея под рукой двухлитровый и восьмилитровый кувшины, добейся, чтобы в одном из них находилось четыре литра компота.

Задача 15. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 6 литров компота.

Задача 16. Восьмилитровый кувшин превращается в девятилитровый. Имея под рукой двухлитровый и девятилитровый кувшины, добейся того, чтобы в одном из них находился один литр компота.

Задача 17. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 3 литра компота.

Задача 18. Располагая кувшином вместимостью 2 литра и 9 литров, помести в один из них четыре литра компота.

Задача 19. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 5 литров компота.

Задача 20. Снова у тебя те же кувшины. Как налить в один из них шесть литров компота?

Задача 21. Девятилитровый кувшин превращается в четырёхлитровый. Можно ли с помощью двухлитрового и четырёхлитрового кувшинов налить один литр компота? А три литра? А пять литров?

Задача 22. Четырёхлитровый кувшин превращается в шестилитровый. Удастся ли тебе, располагая кувшинами вместимостью 2 литра и 6 литров, налить в них один литр компота? Три литра? Пять? Семь?

Задача 23. Шестилитровый кувшин превращается в восьмилитровый. Можно ли с помощью двухлитрового и восьмилитрового кувшинов добиться того, чтобы в них находился один литра компота? Три? Пять? Семь? Девять?

Задача-шутка 24. Восьмилитровый кувшин превращается в четырёхлитровый. Вдобавок на берегу появляется очень тяжёлая бочка, которую тебе не удастся даже сдвинуть с места. В каком случае с помощью кувшинов вместимостью два литра и четыре литра можно налить в бочку ровно три литра компота? Приведи хотя бы один вариант решения.

Задача-шутка 25. Перед тобой снова двухлитровый и трёхлитровый кувшины, а также девятилитровая тяжёлая бочка. Как бы ты не старался с помощью кувшинов налить в неё ровно один литр компота, у тебя ничего не получится. Как думаешь, почему? Дай хотя бы один верный ответ».

Задание:решите все приведённые задачи

Юра упал духом. Он-то уже рассчитывал очутиться дома, а нужно снова задачки решать!

Волей неволей пришлось мальчику брать в руки кувшины и заняться тяжёлым умственным и физическим трудом.

Долго Юра манипулировал кувшинами и, наконец, раскрыл секреты всех задач. Труднее всего мальчику пришлось с двумя последними задачами.

— Ну и шуточки! — недовольно бурчал Юра, но, в конце концов, ответил и на них.

ВОТ КАК РЕШАЮТСЯ ДАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ (КОМПОТНЫЕ ПЕРЕЛИВАНИЯ):

Задача 1. Первый способ. Компот нужно зачерпнуть большим кувшином, два литра перелить в меньший кувшин, из меньшего всё вылить в реку и перелить оставшийся один литр компота из большего кувшина в меньший (4 операции). Второй способ. Наполняем двухлитровый кувшин компотом из реки, и переливаем компот в трёхлитровый. Снова заполняем меньший кувшин компотом и отливаем «излишек» в больший (также 4 операции).

Задача 2. Наполняем двухлитровый кувшин компотом и переливаем вкусную жидкость в трёхлитровый. Снова заполняем меньший кувшин компотом (3 операции): 2 + 2 = 4.

Задача 3. Окунаем пятилитровый кувшин в реку и заполняем его компотом. Переливаем два литра компота в меньший кувшин. Опорожняем двухлитровый кувшин. Снова отливаем два литра компота в меньший кувшин. В большем кувшине останется один литр компота (4 операции).

Задача 4. Заполняем пятилитровый кувшин компотом из реки и переливаем два литра в меньший кувшин (2 операции).

Задача 5. Наполняем двухлитровый кувшин компотом и переливаем жидкость в пятилитровый. Затем те же действия повторяем (4 операции).

Задача 6. Начало решения такое же, как и в предыдущей задаче. В конце двухлитровый кувшин в третий раз заполняется компотом из реки (5 операций): 4 + 2 = 6.

Задача 7. Заполняем больший кувшин компотом и переливаем два литра в меньший кувшин (2 операции). Другой путь длиннее.

Задача 8. Наполняем жидкостью больший кувшин и трижды отливаем по два литра в меньший, дважды его опорожняя (6 операций).

Задача 9. Набираем компот в семилитровый кувшин и дважды переливаем в двухлитровый, из которого в первый раз компот выливается в реку (4 операции).

Задача 10. Наполняем двухлитровый кувшин компотом и переливаем его в семилитровый. Затем те же действия повторяем (4 операции).

Задача 11. Заполняем семилитровый кувшин компотом и переливаем два литра в меньший кувшин (2 операции).

Задача 12. Трижды спускаемся с двухлитровым кувшином к реке за компотом и переливаем жидкость в семилитровый (6 операций).

Задача 13. Начало решения такое же, как в предыдущей задаче, а в конце двухлитровый кувшин в четвёртый раз заполняется компотом из реки (7 операций).

Задача 14. Дважды набираем компот из реки в двухлитровый кувшин и переливаем в восьмилитровый (4 операции).

Задача 15. Заполняем восьмилитровый кувшин компотом и отливаем два литра в меньший кувшин (2 операции).

Задача 16. Наполняем жидкостью девятилитровый кувшин и четырежды отливаем по два литра в меньший, трижды его опорожняя (8 операций).

Задача 17. Набираем компот из реки в девятилитровый кувшин и трижды переливаем в двухлитровый, из которого дважды жидкость выливается в реку (6 операций).

Задача 18. Наполняем двухлитровый кувшин компотом и переливаем его в девятилитровый. Затем те же действия повторяем (4 операции).

Задача 19. Окунаем больший кувшин в реку и заполняем его компотом. Переливаем два литра в меньший кувшин и опорожняем его. Снова отливаем два литра компота из большего кувшина в меньший (4 операции).

Задача 20. Трижды спускаемся с двухлитровым кувшином к реке за компотом и переливаем жидкость в девятилитровый (6 операций).

Задачи 21, 22, 23. Нельзя, не удастся.

Задача 24. Правильные варианты ответа: а) в том случае, если ёмкость бочки составляет три литра, б) если внутри бочки есть разметка и др.

Задача 25. Правильные варианты ответа: а) в бочке дырка, б) бочка без дна, в) бочка очень высокая и др.

Итак, Юра расправился с последним заданием и вздохнул:

— Сейчас через речку перекинется мост. Я по нему пробегу и увижу новую реку. На её берегу опять будут вкопан столб с новыми задачами.

Все, конечно же, так и случилось. На новой табличке значилось:

«ЛИМОНАДНАЯ РЕКА. Если хочешь вернуться домой, то реши одну единственную задачу. Представь, что перед тобой две неодинаковые ёмкости с лимонадом. В каждой из них помещается однозначное нечетное количество литров этого напитка. Также известно, что с помощью данных ёмкостей ни одну из них нельзя наполнить ровно одним литром лимонада. Сообрази, какова вместимость данных сосудов».

Сердце мальчика готово было выпрыгнуть из груди. Наконец-то он попадёт домой! Но сначала вновь следовало заняться математикой. Немного успокоившись, Юра принялся размышлять. Он думал очень долго, но всё же решил последнюю задачу и оказался дома.

А вы решите её?

ОТВЕТ на последнюю задачу: 3л и 9л.